निम्नलिखित परिमेय फलन को आंशिक भिन्नों में कैसे विघटित करें?

शीर्षक: $$ का आंशिक अंश अपघटन \frac{x^n}{(x-1)(x-3)(x-5)\cdots(x-(2n-1))} $$

मुख्य भाग:

मैं निम्नलिखित तर्कसंगत फ़ंक्शन को आंशिक भिन्नों में विघटित करने पर काम कर रहा हूं: $ \frac{x^n}{(x-1)(x-3)(x-5)\cdots(x-(2n-1))}. $

हर $ n $ विषम रैखिक कारकों $ (x-1), (x-3), \dots, (x-(2n-1)) $ का गुणनफल है, और अंश है $ x^n $. मैं इसे आंशिक भिन्नों के योग के रूप में व्यक्त करना चाहता हूं: $ \frac{x^n}{(x-1)(x-3)(x-5)\cdots(x-(2n-1))} = \sum_{k \in \{1, 3, 5, \ldots, 2n-1\}} \frac{A_k}{x-k}, $ जहां $ A_k $ निर्धारित किए जाने वाले स्थिरांक हैं।

मानक विधि का उपयोग करते हुए, मुझे पता है कि: $ A_k = \frac{k^n}{\prod_{\substack{j \neq k \\ j \in \{1, 3, 5, \ldots, 2n-1\}}} (k-j)}. $

विषम कारकों के साथ हर की संरचना को देखते हुए, मैं उत्सुक हूं:

$A_k $ के लिए अधिक स्पष्ट या सरल संबंध प्राप्त करने में किसी भी मदद की बहुत सराहना की जाएगी!

br>समस्या का निम्नलिखित भाग यह है कि:

संबंध घटाएं: $\sum_{k=0}^n (-1)^k (2k + 1)^n \binom{n}{k} = (-1)^n 2^n n!$, $\forall n \in \mathbb{N}$.

यह सही दिशा में एक संकेत है। यहां n के कुछ छोटे मानों के लिए आंशिक भिन्न दिए गए हैं। मान लीजिए $$P_n = \frac{x^n}{(x-1)(x-3)\cdots(x-(2n-1))}$$

$ P_1 = \frac{1}{x-1}+1 \\ P_2 = -\frac{1}{2 (x-1)}+\frac{9}{2 (x-3)}+1 \\ P_3 = \frac{1}{8 (x-1)}-\frac{27}{4 (x-3)}+\frac{125}{8 ​​(x-5)}+1 \\ P_4 = -\frac{1}{48 (x-1)} +\frac{81}{16 (x-3)}-\frac{625}{16 (x-5)}+\frac{2401} {48 (x-7)}+1 \\ P_5 = \frac{1}{384 (x-1)} -\frac{81}{32 (x-3)} +\frac{3125}{64 (x-5)}-\frac{16807}{96 (x-7)}+\ फ़्रेक{19683}{128 (x-9)}+1 $

आप क्या पैटर्न देखते हैं? मैं निश्चित रूप से वैकल्पिक पदों, अंश में पूर्ण घन, विषम संख्याओं की घात, और पदों के हर में कुछ समरूपता और अंतिम पद के रूप में $1$ को देखता हूं। एक बंद फॉर्म लिखने का प्रयास करें जो यह सब कैप्चर करता है।

अगला कदम, निश्चित रूप से, इसे साबित करना है :)

उम्मीद है कि इससे मदद मिलेगी।

$$P_n = \frac{(-2)^{-n} x^n}{\left(\frac{1}{2}-\frac{x}{2}\right)_n}$$ जहां $(a)_n$ पोचहैमर प्रतीक है।

संकेत:

$$\frac{x^5}{(x-1) (x-3) (x-5 ) (x-7) (x-9)}=1+\frac{1}{{2^4 4!}}\left( (-1)^0\binom{4}{0}\frac{1^5}{x-1} + (-1)^1\binom{4}{1}\frac{ 3^5}{x-3} + (-1)^2\binom{4}{2} \frac{5^5}{x-5} + (-1)^3\binom{4}{3}\frac{7^5}{x-7} + (-1)^4\binom{4}{4} \frac{9^5}{x-9} \दाएं)$$

यह फ़ंक्शन $f(x) =x^n$ पर लैग्रेंज इंटरपोलेटिंग बहुपद को नोड्स $\{1,3,...,(2n-1) पर लागू करने के लिए पर्याप्त है ) \}$ और आप जिन $A_j$ की तलाश कर रहे हैं वे "इन $y_j$ को आधार बहुपद $l_j(x)$ के स्थिर पदों से गुणा करने" के अनुरूप हैं।